Чтение RSS Все о РадиоЭлектроТехнике » РадиоЭлектроника » РадиоКомпоненты » Теоретические аспекты конечно-элементного моделирования состояний и функциональности магнитоуправляемых датчиков. Часть 1

Новости партнеров

Малогабаритный частотомер с питанием от литиевого элемента
     Прототипом этого прибора послужил частотомер, описанный в статье И. Котова («Радио», 2008, № 2, с. 21, 22). Переделка свелась к замене батареи питания 6F22 литиевым ...
Microchip. Информацинный каталог. 2014
Название: Microchip. Информацинный каталог Год издания: 2014 Страниц: 88 Формат: djvu Размер: 17,34 MB Описание: Предлагаем вашему вниманию очередное издание информационного каталога ...
Microcontrollers From Assembly Language to C Using the PIC24 Family
Название: Microcontrollers From Assembly Language to C Using the PIC24 Family Автор: Robert Reese, J.W. Bruce, Bryan A. Jones Год издания: 2009 Страниц: 865 Формат: pdf Размер: 9,58 MB ...

Теоретические аспекты конечно-элементного моделирования состояний и функциональности магнитоуправляемых датчиков. Часть 1

 Опубликовано: 16-02-2014, 03:56  Комментариев: (0)


В статье рассматриваются аспекты математического моделирования магнитостатических, магнитодинамических и магнитотепловых (мультифизических) процессов, ответственных за функциональность магнитоуправляемых датчиков скорости и положения, и параллельно раскрываются моделирующие возможности и особенности конечно-элементного CAD/CAE пакета FLUX Cedrat.

Введение

Магнитоуправляемые датчики скорости/положения представляют собой широко распространенный и перспективный класс сенсорных устройств в составе автомобильных, промышленных, аэрокосмических и других систем. Эти устройства отличаются бесконтактностью, готовым типом выхода, часто цифровым исполнением, достаточно высокой чувствительностью, стабильностью, надежностью и точностью. Чтобы разработать и гарантировать работу такого устройства в полном диапазоне рабочих условий, включая в анализ материалы и геометрию магнитной системы, допуски, рабочие температуры и другие параметры, стоит воспользоваться компьютерным конечно-элементным моделированием, которое способно дать хорошие результаты. Пример такого специализированного программного обеспечения — Flux Cedrat (1–9) (рис. 1).

Рис. 1. Типичная задача, решаемая методом конечных элементов, — моделирование датчика ферромагнитного зубчатого ротора: а) постановка задачи: 1 — ферромагнитный зубчатый ротор; 2 — основные компоненты статора; 3 — обратно-смещающий магнит; 4 — ИС датчика (дифференциальная ИС Холла TLE4921 Infineon); б–г) решение в рамках реализации конечно-элементного проекта во Flux v.10.1.2: б) результат генерирования сетки для линий и контуров; в) результат генерирования сетки для элементов второго порядка Generate Second Order Elements; г) постобработка: изображение векторных результатов решения образцовой модели

Существуют три основных модели и/или состояния, которые характеризуют функциональность магнитоуправляемых датчиков, соответствующих приложениям (модулям) Flux:

  1. Магнитостатическое (магнитное поле постоянное, источники поля — стационарные токи проводимости или постоянные стационарные магниты, в системе отсутствуют механическое движение источника или модулятора поля и наведенные токи), изучается в Flux MagnetoStatic.
  2. Магнитогармоническое (магнитное поле — установившееся переменное синусоидальное, источники поля — переменные токи, подвижные постоянные магниты и/или неподвижные постоянные магниты, стационарное поле которых синусоидально модулируется подвижным ферромагнитным/проводящим модулятором, в расчет принимаются наведенные токи, скин-эффект и эффект близости), соответствует приложению Steady state AC Magnetic Flux, но данный модуль не рассматривает магниты в качестве источников.
  3. Переходные, соответствующие переходу системы из одного установившегося магнитостатического или магнитодинамического состояния в другое и характеризующиеся переменным несинусоидальным состоянием источников и полей. Во Flux переходные процессы изучаются посредством специализированного модуля Transient Magnetic, допускающего задание в качестве источников и переменных (несинусоидальных) токов, и магнитов, анализ наведенных токов, скин-эффекта и эффекта близости.

Магнитотепловое моделирование, также доступное во Flux, основано на существовании взаимодействия между электромагнитными и тепловыми аспектами процессов нагрева — вследствие вихревых токов.

Теоретические аспекты моделирования основных функциональных процессов, протекающих в датчиках (магнитных и магнитнотепловых), достаточно подробно рассматриваются в рамках данной статьи. Но нельзя не отметить, что возможности моделирования, предлагаемые Flux, шире. Так, возможность объединения с электрической схемой "circuit coupling" доступна пользователю в приложениях Transient Magnetic и Steady State AC Magnetic. Кинематический модуль Flux также допускает исследование подвижной части устройства вследствие механических сил (действия пружин, трения, гравитации).





Магнитостатическое моделирование

Магнитостатическое моделирование основывается на фундаментальных законах электромагнетизма — уравнениях Максвелла и конституционных соотношениях среды. В самом общем виде уравнения Максвелла (в дифференциальной форме) записываются как:

rot = − ∂/∂t, rot = +(∂/∂t), (1) div = 0, div = q,
где  — плотность магнитного потока,  — плотность тока,  — напряженность магнитного поля, и  — электрическое смещение и напряженность электрического поля соответственно, q — плотность статического заряда.

Соотношения для материалов записываются следующим образом:

= σ , = μ , (2) = ε ,
где σ — проводимость; μ — магнитная проницаемость; ε — диэлектрическая проницаемость.

В случае низкочастотных квазистатических электромагнитных полей выражения для электрических полей и , и могут быть разъединены и рассмотрены отдельно.

Для чисто магнитной системы принимается гипотеза квазистатического состояния, вариацией плотности электрического потока можно пренебречь. Уравнения Максвелла тогда запишутся как

rot = – ∂/∂t, rot = , (3) div = 0,
а соотношения материалов, которые принимаются в расчет, так:
= σ , = μ . (4)

Условия вычисления в магнитостатическом исследовании

Переменные состояния не зависят от времени, то есть d/dt = 0, вычисляются только B- и H-поля, D- и E-поля не вычисляются.

Наведенные токи не учитываются, и уравнения Максвелла для задач магнитостатики тогда записываются как
rot = , div = 0, (5)
а соотношение материалов, которое принимается в расчет (только для связи магнитных параметров):
= μ . (6)

Это принципиальное соотношение для магнитных материалов может быть помещено в расчетную модель в виде B(H)- или H(B)-соотношений:

= μrμ0, = μrμ0 + r, (7)
где μr — относительная магнитная проницаемость среды; μ0 — абсолютная магнитная проницаемость вакуума; r — остаточный магнитный поток постоянных магнитов, или
= vrv0, = vrv0c, (8)
где vr — относительное удельное магнитное сопротивление среды; v0 — абсолютное удельное магнитное сопротивление вакуума; c — коэрцитивная сила постоянных магнитов.

Закон Гаусса для магнетизма div = 0 также допускает введение магнитного векторного потенциала :

= rot. (9)

Выражение для закона Ампера rot = позволяет дать выражение для магнитного скалярного потенциала:

= − + , (10)
где  — магнитный скалярный потенциал;  — вращательный или нулевой компонент поля источника или электрический векторный потенциал в А/м.

Некоторые геометрические аспекты конструирования магнитных систем

В соответствии с законом Ампера в электромагнитной схеме магнитное поле электрически возбуждаемой магнитной системы (рис. 2) определяется соотношением

dl = I × n, (11)
где l — длина магнитного пути; n — число витков возбуждающей обмотки.

Рис. 2. Замкнутые электромагнитные схемы: а) электромагнитно возбуждаемая; б) магнитная система (возбуждаемая постоянным магнитом)

Для магнитной системы, возбуждаемой постоянным магнитом:

× dl = 0 (12)
или
B lB+ Ф lФ+ M lM= 0, (13)
где B — напряженность магнитного поля в воздухе; lВ — длина пути линий поля в воздухе; Ф — магнитное поле в ферромагнитном материале; lФ — длина пути линий поля в ферромагнитном материале; M — магнитное поле в магнитном материале; lМ — длина пути линий поля в магнитном материале.

При этом напряженности поля в ферромагнитной и воздушной частях замкнутой схемы будут характеризоваться тем же самым направлением, в магнитной — противоположным.

Согласно этой записи, увеличения магнитного поля в воздушном зазоре можно достичь, уменьшая воздушный зазор и увеличивая длину магнитно-ферромагнитного пути.

В пределах пути lМпостоянного магнита напряженность и индукция магнитного поля связаны соотношением:

M = μ0+ M, (14)
где M — намагничивание постоянного магнита, направление которого определяет направление поля в контуре из ферромагнитной и воздушной частей схемы.

Поскольку и электрически, и магнитно возбуждаемые схемы бесконтактных датчиков конструируются так, чтобы выполнялось равенство

M = B = Ф,
переписав (13) как
(BBlB0)+(BФlФrμ0)+ +((BMMM)/μ0) lM= 0
и, далее, как
BBlB+(BBlФr)+(BBMM) lM= 0 и lB+(lФr)+ lM–(MMlM/BB) = 0,
в итоге получим, что индукция в воздухе магнитной системы может рассчитываться по формуле:
BB= MM/(1+(lB/lM)+(lФrlM)). (15)

Из этой формулы явствует, что для увеличения поля в воздухе в схеме с постоянным магнитом должно выполняться соотношение:

lМ>> lВ. (16)

Соотношение lМ> lФ в датчиках можно на практике не принимать в расчет, так как lФ/(μr× lМ) — всегда малое значение из-за того, что μr, магнитная проницаемость стали, обычно >1000. Тем не менее, ферромагнитную часть все же не следует делать превышающей по длине магнитную.

Однако длина ферромагнитного пути в сравнении с длиной воздушного пути — и в том случае, если магнитный участок отсутствует, и во всех остальных — должна быть значительно увеличенной, то есть

lФ>> lВ, lФ+ lМ>> lВ.

В электромагнитной схеме возбуждения, в которой магнитное поле в замкнутом контуре будет определяться выражением

BlB+ ФlФ= nI (17)
или сведенным к виду
(BBlB0)+(BФlФrμ0) = nI, (18)
считая, что поле в каждой точке контура одинаково, получим, что магнитная индукция в зазоре будет также значительно зависеть от величины зазора lВ:
BB= nI μ0/(lB+(lФr)). (19)

В то же время, если удается выполнять условие (16), достаточно большие зазоры — порядка нескольких мм — могут не оказывать влияния на величину поля в воздухе (хотя она и уменьшается по сравнению с реальным значением BФ) и не влиять на точность измерений.

Еще один важный практический аспект для геометрического конструирования датчиков — это возможность расширения воздушного зазора за счет увеличения поперечного сечения магнита или электромагнитно возбуждаемой ферромагнитной части.

Поскольку магнитный поток в замкнутом контуре принимается равным, то есть

BMSM= BBSB, (20)
это далее дает следующее выражение для индукции в воздушном зазоре (при идеальных условиях):
BBlB+(BBlФr)+(BB(SB/SM)− MM) lM= 0, BB= MM/((SB/SM)+(lB/lM)+(lФrlM)), (21)
и при соблюдении условия (16) и большом значении μrвыражение (21) аппроксимируется к виду:
BB= MM/(SB/SM) = (MMSM)/SB, (22)
то есть увеличение индукции определяется также фактором SM/SB.

Существуют и могут быть разработаны еще более развернутые аналитические методы технической оценки полей датчиков — с учетом рабочих точек кривых намагничивания магнитов и разнообразных факторов утечки. Но аналитические модели прежде всего полезны для упрощенного решения какойто частной прикладной задачи. В рамках данной статьи подробно обсуждаются именно универсальные конечно-элементные, а не упрощенные аналитические модели для конкретных и идеальных условий и набора принятых допущений.

Магнитостатическое моделирование во Flux

Во Flux существует приложение Magneto Static, позволяющее получать следующие принципиальные результаты:

  • распределение напряженности магнитного поля H, плотности магнитного потока B, плотности магнитной энергии dWm;
  • расчет магнитной энергии в регионе Wm во всем домене исследования, силы Fm и магнитного крутящего момента Tm;
  • магнитный поток, пересекающий поверхность или навивку.

Основные этапы магнитостатического исследования включают:

  • магнитостатическое исследование образцовой модели, решение опорного сценария;
  • физическое параметризованное исследование;
  • геометрическое параметризованное исследование.

Для решения используются две модели:

  • векторная модель с вычислением переменной состояния магнитного векторного потенциала , введение которого допускает закон Гаусса для магнетизма;
  • скалярная модель с вычислением магнитного скалярного потенциала, записываемого как tot или red.

2D-модуль Flux обеспечивает решение только векторной модели, 3D-модуль — и векторной, и скалярной. По умолчанию 3Dрешатель использует векторную модель для 2D-приложений и скалярную для 3D-приложений. Но в дальнейшем на деталях работы с Flux в рамках данной статьи внимание не акцентируется, отчасти в связи с предшествующей публикацией ряда практических руководств именно по магнитостатическому моделированию магнитоуправляемых датчиков во Flux (2–7).

Для векторной модели решаемое во Flux уравнение записывается как

rot (v0(vr) rot ( ) − c ) = s, (23)
где (vr) — тензор относительного удельного сопротивления среды; s — поверхностная плотность источника тока (в А/м2).

Для скалярной модели выбирается различным образом, и этот выбор приводит к различным скалярным потенциалам и применению различных магнитных формулировок во Flux 3D. Каждая область задачи связывается со своей формулировкой, но в общем виде форма решаемого в магнитостатическом приложении уравнения записывается как

div ((μr0(− ( )+ )+ r ) = 0, (24)
где (μr) — тензор относительной магнитной проницаемости среды;  — магнитный скалярный потенциал ( tot или red);  — векторная характеристика источника поля; r — остаточный магнитный поток магнитов.

Существуют три основных ситуации, относящиеся к источникам:

  • источников тока нет;
  • источники не покрываются сеткой;
  • источники покрываются сеткой.

Соответствующие им уравнения представлены далее.

Тотальный скалярный потенциал tot используется при отсутствии токовых источников. Плотность тока j равна нулю. Напряженность поля выражается как

= − ( tot), (25)
и решаемое уравнение представляет собой
div ((μr0(− ( tot)− r ) = 0, (26)
tot является переменной состояния, относительно которой решается уравнение (26).

Редукционный магнитный скалярный потенциал, соответствующий H или redHj, используется, когда источники — не покрываемого сеткой типа. Во Flux это единичные объекты (entity), которые могут быть круговой, прямоугольной или более сложной формы. Это случай, когда = j, и Hj вычисляется аналитически с использованием закона Био-Савара-Лапласа. Закон позволяет рассчитать магнитное поле в точке P, созданное проводником с током I, без присутствия магнитных материалов как:

  • элементарное
    d(P) = (1/4 π) I×( /r3); (27)
  • тотальное
    (P) = (1/4 π) I×( /r3). (28)

В приведенных выражениях  — это вектор между элементом проводника и точкой P.

Для поверхностного или объемного вычисления тока выражения (27) и (28) должны быть переписаны: I заменяется на SdS и VdV соответственно.

Магнитное поле, создаваемое источником, не покрываемым сеткой, записывается как Hj. Магнитное поле в магнитостатической системе тогда выражается как

= − ( redHj ) + j, (29)
а решенное уравнение представляет собой
div ((μr0(− ( redHj ) + j ) − r ) = 0, (30)
где redHj — переменная состояния.

Кроме того, магнитное поле может быть наложенным (например, магнитное поле Земли).

Редукционный магнитный скалярный потенциал, соответствующий T0 или redT0, используется, когда источники — сетчатого типа, для которых

rot0 = s, (31)
но может использоваться и с несетчатыми источниками, для которых
rot0 = s + rotj. (32)

Магнитное поле выражается как

= − ( redT0 ) + 0, (33)
а решенное уравнение представляет собой
div ((μr0(− ( redT0 ) + 0 ) − r ) = 0, (34)
где redT0 и 0 — переменные состояния.

Описание модели во Flux включает:

  • определение границ и граничных условий;
  • описание материальных сред (воздушных, магнитных/ферромагнитных материалов, источников тока);
  • описание источников поля (постоянных магнитов, DC тока, наложенного поля).

Граничные условия задаются в большинстве случаев методом бесконечного бокса: программой автоматически назначается условие граничного нулевого магнитного потенциала. Альтернатива — задание нематериальных областей пользователем и определение направления поля на границах как нормального или тангенциального (по умолчанию поле назначается тангенциальным к границе). Если в модели присутствуют симметрии и периодичности, пользователь также определяет направление поля как тангенциальное или нормальное по отношению к плоскостям симметрии, циклические или антициклические условия по отношению к плоскостям периодичности, определенным в геометрическом контексте.

Объемы, поверхности, линии материальных областей позволяют моделировать во Flux материальные среды — воздушные (с μr= 1), магнитные (магнитомягкие и магнитотвердые — c μr) непроводящие, проводящие немагнитные (μr= 1). Для моделирования доступны тонкие области и филиформы (области с малым поперечным сечением: когда два размера значительно меньше третьего, магнитное поле является тангенциальным к линии моделирования филиформы).

Постоянные магниты как источники поля описываются посредством назначения областей магнитных материалов. При определении материала вводятся характеристики магнита, остаточная индукция, указывается направление намагниченности. Электрические токи как источники в магнитостатическом применении считаются непрерывными, независимыми от времени, с однородно распределенной плотностью тока в поперечном сечении проводника. Электрические источники описываются либо посредством областей материала типа coil conductor, либо посредством entities coils. Дополнительной возможностью является задание наложенного поля как создаваемого магнитным диполем или известным магнитным полем — однородным или пространственно распределенным.

Практическое магнитостатическое моделирование во Flux на примере датчика ферромагнитного зубчатого ротора было показано в публикациях (2–7), к которым (а также к технической документации Cedrat) рекомендуем обращаться за выяснением деталей задания свойств материалов, указания направления осуществления постобработки результатов и т. п.

В случае замкнутой магнитной системы с высокой магнитной проницаемостью возникает также задача соединения различных магнитных областей, если интеграл в выражении (11) не равен нулю. Решением является искусственное моделирование зазора посредством единичного объекта Magnetic Cut, но в том случае, если замкнутая система рассечена плоскостью симметрии и периодичности, введение зазора не требуется.

Анализ результатов предполагает постобработку локальных и глобальных параметров, различных для 2D- и 3D-применений (табл. 1).

Таблица 1. Локальные и глобальные параметры постобработки магнитостатических результатов решения во Flux 2D/3D
Параметры Единицы измерения Объяснение
Локальные 2D-параметры
Векторный потенциал: •для плоской задачи — AZ, •для осесимметричной задачи — rAZ Вб/м Вб  
Напряженность магнитного поля, А/м = ν×rotAZ
Плотность магнитного потока, Тл = (μ)
Магнитный поток, Ф (P1P2 — магнитный поток через поверхность, неограниченную линиями, нормальными к домену исследования, передаваемый посредством точек P1 и P2) Вб P1P2= (AZP1AZP2)p, где p — толщина домена плоской задачи
Проницаемость, μ Гн/м  
Плотность тока источника, JZ А/мм2  
Лапласова сила (локальное значение), L Н/м3 L = ×
Глобальные 2D-параметры
Магнитная сила, m(Force) Н m=∂Wm/∂l, l — элементарное линейное перемещение
Магнитная сила, m(Magnetic Pressure) Н Интегрирование поверхностных сил (тензорный метод Максвелла)
Магнитный крутящий момент, m(Torque) Н/м m=∂Wm/∂θ, θ — элементарное угловое перемещение
Лапласова сила, L(stress) Н L=VJ×dV
Магнитная энергия, Wm Дж Wm=VdWmdV=V∫(0d)dV. Для линейной изотропной гомогенной среды: dWm= (1/2)= (1/2)μH2= (1/2)(B2/μ)
Магнитная энергия Energy/Co-Energy Дж V∫(0d)dV
Ток (источника), I(Current) А I=SJZdS
Магнитный поток в области, Ф(Inductance/Flux) Вб Ф = lAZdl
Индуктивность, L(Inductance/Inductance) Гн L = (n2Ф)/I
Локальные 3D-параметры
Скалярные магнитные потенциалы, tot,redHj,redT0 А/м  
Напряженность магнитного поля, А/м = −(tot), = −(redHj) + j, = −(redT0) + 0
Плотность магнитного потока, Тл = (μ)
Магнитное поле источников, не покрываемых сеткой, j А/м Аналитическое или полуаналитическое вычисление с использованием закона Био-Савара-Лапласа
Остаточная плотность магнитного потока постоянных магнитов, r Тл  
Коэрцитивная сила постоянных магнитов, c А/м  
Проницаемость, μ Гн/м  
Относительная проницаемость, μr    
Плотность поверхностной силы между материалами, ds Н/м2 Вычисление на границах сред с различной магнитной проницаемостью
Плотность источника тока JS в сетчатых обмотках А/м2 Верификация данных
Плотность лапласовой силы dL в сетчатых обмотках Н/м3 dL = S×
Объемная плотность магнитной энергии, dWm Дж/м3 dWm=0d
Глобальные 3D-параметры
Магнитная сила, m(Force) Н m=∂Wm/∂l
Магнитный крутящий момент, m(Torque) Н/м m=∂Wm/∂θ
Магнитная энергия, Wm Дж Wm=VdWmdv
Магнитный поток через обмотку-проводник (stranded-типа), ФВ Вб  

Моделирование магнитогармонических процессов

Магнитные процессы, достигшие установившегося гармонического состояния, характеризуются одной и той же частотой, но синусоидальным изменением во времени всех физических параметров в уравнениях Максвелла.

Для изучения магнитных процессов, находящихся в установившемся гармоническом состоянии с постоянной частотой во Flux существует применение Steady State AC Magnetic. Магнитное поле в этом применении анализируется вместе с вихревыми токами, наведенными в проводящих областях.

Учитываются скин-эффект и эффект близости. Скин-эффект состоит в том, что электрические переменные токи неоднородно распределяются в поперечном сечении проводника — с преобладанием концентрации токовых линий в прилегающей к внешней стороне поверхности проводника, и этот эффект становится более значительным по мере того, как частота f тока увеличивается. Также скин-эффект становится более заметным с высокой магнитной проницаемостью μ материала и электрической проводимостью σ.

Параметры, ассоциируемые с электромагнитным полем, уменьшаются по мере увеличения глубины z проводника по экспоненциальному закону:

U (z) = US× ez, (35)
где US — значение на поверхности; ω = 2 πf — круговая частота; глубина скин-эффекта:

Эффект близости относится к явлению, которое возникает в системе из нескольких токонесущих проводников, когда магнитное поле, сгенерированное проводником, разрушает токовое распределение в других проводниках.

Результаты магнитогармонического моделирования — те же, что и для магнитостатического приложения, плюс расчет параметров вихревых токов и потерь мощности вследствие эффекта Джоуля. Все вычисленные для данной частоты параметры — синусоидальные.

В контексте Steady State AC Magnetic все параметры выражаются посредством их комплексных изображений. Такое представление действительно при соблюдении следующих гипотез:

  • все материалы линейные;
  • все источники синусоидальные.

Тем не менее, представление комплексных изображений может быть расширено для двух случаев:

  • для нелинейных материалов — параметры являются несинусоидальными, но предусмотрена возможность задания так называемой эквивалентной B(H)-характеристики, допускающей принимать в расчет факт синусоидальности параметров;
  • для линейных материалов, но несинусоидальных источников может применяться разложение в ряд Фурье — для получения суперпозиции нескольких гармонических задач (также этот метод применим и для нелинейных материалов).

Важной особенностью приложения является отсутствие в моделях магнитов. Вихревые токи наводятся и в пассивных, и в активных (питаемых внешней схемой) проводниках. Возможно объединение с внешней схемой.

Уравнения и условия вычислений следующие. В вычисления включаются уравнения Максвелла для магнитной системы (3), а соотношения материалов, которые принимаются в расчет, имеют вид (4).

Вычисляются B-, H-, E-поля. D-поле не вычисляется. Переменные состояния зависимы от времени (то есть d/dt ≠ 0).

Для решения используются две модели:

  • векторная, с вычислением переменной состояния магнитного векторного потенциала ;
  • скалярная, с вычислением магнитного скалярного потенциала, записываемого как tot или red.

Уравнение Максвелла-Фарадея допускает присутствие электрического скалярного потенциала φ:

= −(∂/∂t)− φ. (37)

Уравнение для переходных процессов, решаемое в применении Transient Magnetic, записывается как

rot (v0( vr) rot ( ))+( σ )(∂/∂t + φ) = 0. (38)

Комплексное изображение этого уравнения, в котором d/dt = jω, имеет следующий вид:

rot (v0( vr) rot ()) + ( σ )(j ω + φ) = 0. (39)

Переменные состояния включают:

  • магнитный векторный комплексный потенциал ( n для плоских задач и r n для осесимметричных);
  • электрический скалярный потенциал.

Flux 3D для скалярной модели Steady State AC Magnetic использует также различные автоматические формулировки с различными скалярными потенциалами — тех же, что рассматривались ранее в описании магнитостатических приложений.

Описание задачи в Steady State AC Magnetic включает определение частоты (при выборе применения). Для изучения низкочастотных проблем уравнения электрических полей E и D и магнитных полей B и H также могут быть разъединены. Это разделение зависит от частоты, материалов, размера домена исследования. Обычно разделение действительно от 0 до 10 ГГц.

О моделировании скин-эффекта необходимо сказать еще несколько слов.

Если материал характеризуется линейными, гомогенными и изотропными свойствами, среднее значение глубины скин-эффекта можно вычислять согласно формуле (36).

Физические параметры электрического тока или магнитного поля экспоненциально уменьшаются при увеличении глубины скинэффекта, если область материала плоская. Для того чтобы точно оценить физические параметры в скин-регионе, по крайней мере два слоя элементов (второго порядка) в толщине необходимы. Некоторые проблемы возникают, когда глубина δ << L или δ >> W — длины или ширины материала. Но во Flux существует возможность задания областей материала с поверхностным импедансом.

Гипотеза основывается на существовании нулевого вектора электрического поля в проводнике  — за исключением поверхности проводящего региона, где присутствует поверхностная плотность тока S.

Поверхностный импеданс ZS соотносит тангенциальный компонент магнитного поля с тангенциальным компонентом электрического поля на поверхности проводящего региона с использованием следующего соотношения:

S = ZS( S ), c ZS= (1 + j)/σδ, (40)
где  — единичный вектор, направленный нормально к поверхности, исходящий из проводящего региона.

Ограничения по определению поверхностного импеданса задаются двумя условиями: δ < L/5 и δ < r/5, где L — толщина, r — радиус кривизны.

Поле должно быть преимущественно тангенциальным (допускаются только незначительные нормальные составляющие). Эти ограничения записываются в виде: δ/L > 10(μ0/μ) и μ > 10μ0.

Проводящий твердотельный регион, описываемый условием поверхностного импеданса (Region of solid conductor type described by surface impedance), представляет собой комбинацию:

  • неактивного объемного региона,
  • контура региона с поверхностным импедансом.

Неактивный регион можно не покрывать сеткой, поскольку переменные состояния на внутренних узлах не вычисляются.

Flux 3D допускает также возможность моделирования тонких проводящих регионов пассивных проводников, в которых плотность тока моделируется постоянной (2D) или гиперболически распределенной по толщине (3D), а также областей с малым поперечным сечением — филиформ.

Источники в применении Steady State AC Magnetic бывают следующих типов:

  • электрический ток (синусоидальный);
  • наложенное значение напряженности H0 магнитного поля (3D-применение) однородное или распределенное, синусоидально изменяющееся во времени;
  • наложенное значение плотности φ0 магнитного потока (2D-применение), характеризующееся теми же свойствами, что и H0.

Параметры постобработки в Steady State AC Magnetic — скалярные или векторные, также синусоидальные.

Синусоидальный скалярный параметр угловой частоты пульсаций (переменного тока) ω может быть геометрически представлен как вектор, вращающийся с угловой скоростью ω (рис. 3) (8). В комплексном домене вращающийся вектор для данного отрезка времени является представлением комплексного числа. Значение вращающегося вектора для t = 0 представляет собой комплексное изображение синусоидально изменяющегося скалярного параметра.

Рис. 3. Синусоидальный ток и его комплексное изображение

Мгновенное значение синусоидального тока равно изображению комплексного числа ejωt:

i (t) = Î sin(ω t + β), (41)
где = Îejβ (42) — это так называемое комплексное изображение тока, то есть i(t) = Imag( ejβ) (43).

Комплексное мгновенное значение синусоидального тока определяется следующим соотношением:

  • в декартовой форме:
  • i(t) = Î cos(ω t + β) + jÎ sin(ω t + β); (44)
  • в экспоненциальной форме:
  • = Iejt + β), (45)
    где I — модуль комплексного значения ; (ω t + β) — аргумент или фаза комплексного значения , β — начальная фаза (для t = 0).

Вращающийся вектор, назначенный синусоидальному параметру

A(t) = Â sin(ω t + v0), (46)
выражается в форме комплексной функции времени A(t). Эта комплексная функция времени может быть записана:

  • в декартовой форме:
  • A(t) =  cos(ω t + v0) + j  sin(ω t + v0); (47)
  • в экспоненциальной форме:
  • (t) = Â ejt + v0), (48)
    где далее она может быть разложена на два фактора:
    (t) =  ejt + v0) =  ejv0ejωt, (49) =  ejv0 =  cos(v0) + j  sin(v0), (50)
    фазор (phasor) содержит информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидально изменяющегося параметра — это и есть комплексное изображение параметра; ejωt = cos ω t + j sin ω t (51) — информацию о временной вариации параметра.

Синусоидальная функция во временном домене может быть представлена в комплексном домене с помощью первого фактора — комплексного изображения функции. Фазор (phasor) определяется как вращающийся вектор в момент t = 0 в комплексном домене, назначенный параметру A(t).

Постобработка скалярных результатов осуществляется различными путями:

  • мгновенная постобработка — для момента времени ω t : значение параметра A(t); значение комплексного вращающегося вектора (модуль/аргумент (фаза) или действительная/мнимая часть);
  • не зависимая во времени постобработка (во Flux 2D): фазор или комплексное изображение (модуль/аргумент (фаза) или действительная/мнимая часть).

Векторные параметры раскладываются на компоненты, каждый из которых записывается как синусоидальный параметр:

BX(t) = X sin(ω t + v0X), (52)
или, в комплексной системе изображения, как вращающийся вектор:
X(t) = X × ejt + v0X), X(t) = X × cos(ω t + v0X) + jX × × sin(ω t + v0X), (53)
где X — модуль комплексного компонента X; (ω t + v0X) — аргумент или фаза X.

В общем случае векторные параметры описывают эллиптические пути периода в 2D-вычислительном домене (X, Y). Выражения двух компонентов вектора плотности магнитного потока B в точке вычислительного домена записываются как

BX(t) = X ×cos(ω t + v0X), BY(t) = X ×cos(ω t + v0Y) (54)
и представляют собой не что иное, как параметрические уравнения эллипса — эллиптического изменения параметра во времени t (рис. 4) (8).